Dimensions de terrains rectangulaires - Corrigé

Énoncé

Deux terrains rectangulaires possèdent un bord commun.
Le premier a une aire de $1260{\text{m}}^2$ ; le second, une aire de $924{\text{m}}^2$ . Par ailleurs, les longueurs et largeurs respectives, en mètres, des deux terrains sont des nombres entiers.

Comment choisir leurs dimensions pour que leur côté commun soit le plus grand possible ?

Solution

Notons $L$ et ${\ell }_1$ les dimensions du premier terrain, et $L$ et ${\ell }_2$ les dimensions du second terrain (la dimension $L$ correspond au côté commun aux deux terrains).

On a alors $L{\ell }_1=1260$ et $L{\ell }_2=924$ .

Comme $L$ est un diviseur commun à $1260$  et $924$ , la plus grande valeur possible de $L$ est $\mathrm{PGCD}(1260;924)$ .

On utilise l'algorithme d'Euclide pour calculer ce PGCD :
$\begin{array}{r}\begin{array}{|cccc|}\hline a& b& q& r\\ 1260& 924& 1& 336\\ 924& 336& 3& 252\\ 336& 252& 1& 84\\ 252& 84& 3& 0\\ \hline\end{array}\end{array}$   

donc $\mathrm{PGCD}(1260;924)=84$ .

Ainsi, pour que le côté commun aux deux terrains soit le plus grand possible, il faut que :

• le premier terrain ait pour dimensions $L=84\text{m}$  et ${\ell }_1={\displaystyle \frac{1260}{84}}=15\text{m}$  ;
• le second terrain ait pour dimensions $L=84\text{m}$  et ${\ell }_2={\displaystyle \frac{924}{84}}=11\text{m}$ .